Selasa, 14 Oktober 2014

1/0 tak hingga atau tak terdefinisi?


1/0 tak hingga atau tak terdefinisi?


Beberapa hari yang lalu saya chating dengan anak sma di FB, dia bertanya
1/0 tak hingga atau tak terdefinisi?
Saya rasa banyak orang yang masih bingung, masih rancu apakah 1/0 tak hingga atau tak terdefinsi. Bahkan kawan saya sedang kuliah s2 matematika pun, pernah menanyakan hal yang sama ke saya.
Berapa 1/0 sama saya dengan bertanya
Jika SATU apel diberikan kepada NOL anak, setiap anak dapat berapa apel?
Apakah mungkin tiap anak mendapatkan tak hingga banyaknya apel? Lha wong anaknya aja gak ada. Nah..sekarang jelaskan berapa 1/0.

Berati yang berkata 1/0=∞ salah?

Err..sebenarnya tidak salah juga sich. Jika kita belajar matematika lebih lanjut, tepatnya analisis kompleks ada yang namanya bidang kompleks perluasan (Extended Complex Plane) atau disebut juga Riemann sphere (yaitu \mathbb{\hat{C}}=\mathbb{C}\cup\left\{ \infty\right\}, himpunan bilangan kompleks digabung tak hingga). Didalam Riemann sphere, 1/0=∞. Tentu saja ada penjelasan matematis kenapa 1/0=∞ didalam Riemann sphere.

Jadi mana yang benar, 1/0 tak terdefinisi atau tak hingga?

Sebenarnya dalam matematika, berapa 1/0 tergantung bagaimana kita mengartikan/mendefinisikan 1, 0 dan /. Jika kita mengartikan 1 dan 0 sebagai bilangan yang kita gunakan sehari-hari (baca: bilangan real) serta / sebagai pembagian maka jelas 1/0 tak terdefinisi. Akan tetapi jika 1 dan 0 bukan bilangan real maka belum tentu 1/0 tak terdefinisi.   Hasil 1/0 tergantung sistem bilangan mana yang dipakai. Tentu saja jika ada orang (awam) bertanya berapa 1/0, sistem bilangan yang digunakan pastilah sistem bilangan real. Meskipun 1/0 tidak terdefinsi dalam sistem bilangan real akan tetapi jika suatu bilangan real x mendekati nol maka nilai 1/x akan sangat besar. Bisa kita tulis \lim_{x\rightarrow0}1/x=\infty. Nah saya rasa pula banyak orang yang beranggapan \lim_{x\rightarrow0}1/x sama dengan 1/0. Oleh karena itu banyak orang yang beranggapan \lim_{x\rightarrow0}1/x=1/0=\infty . Tidak, tidak \lim_{x\rightarrow0}1/x dan 1/0 adalah 2 hal yang sangat-sangat berbeda. Oya satu hal yang perlu saya ingatkan tak hingga ∞ bukan lah bilangan real.

Perkalian bukan penjumlahan berulang

Perkalian bukan penjumlahan berulang

Sumber: dyscalculianomorereview.com
Sumber: dyscalculianomorereview.com
Di postingan sebelumnya, saya membahas perkalian sebagai penjumlahan berulang. Inilah pengertian perkalian yang diajarkan ke kita, ketika SD.
Jika perkalian adalah penjumlahan berulang, bagaimana menuliskan 0,003456 × 0,0331sebagai penjumlahan berulang?
Jika perkalian adalah penjumlahan berulang, bagaimana menuliskan √2 × π  sebagai penjumlahan berulang?
Satu hal yang perlu kalian ketahui, matematika secara formal TIDAK PERNAH mendefinisikan perkalian sebagai penjumlahan berulang.
Kalau bukan penjumlahan berulang lalu apa itu perkalian?
Perkalian adalah operasi biner, begitupula penjumlahan juga merupakan operasi biner tetapi tentu saja keduanya merupakan operasi biner yang berbeda.
Apa itu operasi biner?
Operasi biner adalah memetakan 2 buah hal (bisa berupa bilangan atau hal yang lain) ke suatu hal yang lain.
2 + 3 = 5 adalah operasi penjumlahan yang memetakan 2 dan 3 ke 5
2 × 3 = 6 adalah operasi perkalian yang memetakan 2 dan 3 ke 6.
Inilah definisi formal perkalian sebagai operasi biner:
Definisi: Operasi perkalian adalah oprasi biner f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} yang berlaku aturan berikut
f\left(1,b\right)=b dan  f\left(a+1,b\right)=f\left(a,b\right)+b, untuk semua a,b\in\mathbb{N}
Operasi perkalian dinotasikan a × b yang berarti a\times b=f\left(a,b\right)
[Catatan: Meskipun definisi berada di dalam bilangan asli \mathbb{N} tetapi dapat diperluas dengan cara yang sama sehingga berlaku pula di bilagan real \mathbb{N}]
Teorema: Operasi perkalian eksis dan tunggal,
Yang dimaksud tunggal dari teorema di atas adalah mustahil ada operasi biner lain selain perkalian yang memenuhi 2 aturan yang tertulis di definisi di atas.
***
Penjumlahan berulang yang diajarkan ke kita ketika SD dahulu sebenarnya merupakan salah satu cara dari sekian banyak cara menghitung perkalian.
2 × 3
bisa dihitung dengan cara:
  • 2 + 2 + 2
  • 3 + 3
  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1
Banyak jalan menuju Roma, banyak jalan mengitung operasi perkalian.
Referensi:  Cuthbert Webber, 1966, Number System of Analysis. USA: Addison-Wesley  Publising Co